An Additive Version of Higher Chow Groups Une Version Additive Des Groupes De Chow Supérieurs

The cosimplicial scheme ∆• = ∆ →∆1 → → → . . . ; ∆ n := Spec ( k[t0, . . . , tn]/( ∑ ti − t) ) was used in[3] to define higher Chow groups. In this note, we let t tend to 0 and replace ∆• by a degenerate version Q• = Q →Q1 → → → . . . ; Q n := Spec ( k[t0, . . . , tn]/( ∑ ti) ) to define an additive version of the higher Chow groups. For a field k, we show the Chow group of 0-cycles on Q in this theory is isomorphic to the group of absolute (n− 1)-Kähler forms Ωn−1 k . An analogous degeneration on the level of de Rham cohomology associated to “constant modulus” degenerations of varieties in various contexts is discussed. Résumé en français: Le schéma cosimplicial ∆• = ∆ →∆1 → → → . . . ; ∆ n := Spec ( k[t0, . . . , tn]/( ∑ ti − t) ) a été utilisé dans [3] afin de définir des groupes de Chow supérieurs. Dans cette note, nous définissons une version additive des groupes de Chow supérieurs en faisant tendre t vers 0 et en remplaçant ∆• par une version dégénérée Q• = Q →Q1 → → → . . . ; Q n := Spec ( k[t0, . . . , tn]/( ∑ ti) ) . Nous montrons que sur un corps k, le groupe de Chow des 0-cycles dans cette théorie est isomorphe aux formes de Kähler absolues de degré (n− 1). Nous discutons une dégénerescence analogue en cohomologie de de Rham apparaissant dans diverses situations pour des familles à module constant. Date: July 21, 2002. 1991 Mathematics Subject Classification. Primary 14C15, 14C35. 1 2 SPENCER BLOCH AND HÉLÈNE ESNAULT